Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Notation $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Propriétés $\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \rvert = 1$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \beta)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}$, $\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$, $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})^n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$, formules d’Euler. | |
Arguments d’un nombre complexe non nul. Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul. Linéarisation de $\cos^p(x)\sin^q(x)$. | On met en évidence quelques choix usuels d’intervalles permettant de définir l’argument. À chaque fois que le recours à la formule d’Euler sera nécessaire pour linéariser ou développer des formules, l’énoncé devra l’indiquer. |
exo7 73
Soit \(A\) un point du plan d’affixe \(\alpha = a+ib\). Déterminer l’ensemble des ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 7520
Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux nombres réels. En utilisant les formules ...
exo7 7549
Trouver la valeur minimale de \(\vert f(z) \vert\) où \(f(z) = e^{z^{2}}\) sur le ...
exo7 7612
Soit \(c\in \Cc\). Montrer que si \(z\in\Cc\), alors ...
exo7 77
Soit \((A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})\) un pentagone régulier. On note \(O\) son ...
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
exo7 79
Calculer \(\cos 5\theta\), \(\cos 8\theta\), ...
exo7 8
Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 81
Soit \(\theta \in \Rr\). A l’aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
exo7 83
Soit \(x\) un nombre réel. On note ...
exo7 9
Représenter sous forme trigonométrique les nombres : ...
exo7 93
Montrer que tout nombre complexe \(z\) non réel de module \(1\) peut se mettre so ...
exo7 95
Calculer les sommes suivantes : \[\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).\]
exo7 99
Que dire de trois complexes \(a\), \(b\), \(c\) ...
Racines de nombres complexes
Calculer les racines carrées de \(1, i, 3+4 i, 8-6 i, 7+24 i\).
Simplification de nombres complexes
Simplifier au maximum les expressions complexes suivantes.