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Une application $f$ est dite de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert $\Omega$ si elle est différentiable sur $\Omega$ et si $\mathrm{d}f$ est continue sur $\Omega$.

L’application $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\Omega$ si et seulement si les dérivées partielles relativement à une base de $E$ existent en tout point de $\Omega$ et sont continues sur $\Omega$.

La démonstration n’est pas exigible.

Opérations algébriques sur les applications de classe $\mathscr{C}^1$.

Si $f$ est une application de classe $\mathscr{C}^1$ de $\Omega$ dans $F$, si $\gamma$ est une application de classe $\mathscr{C}^1$ de $[0,1]$ dans $\Omega$, si $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$, alors :
$\displaystyle f(b)-f(a)=\int_0^1\mathrm{d}f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,\mathrm{d}t.$

Cas particulier $\gamma(t)=a+tv$ pour tout $t\in[0,1]$.

Si $\Omega$ est connexe par arcs, caractérisation des fonctions constantes sur $\Omega$.

Démonstration pour $\Omega$ convexe.