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Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$, telle que la série $\sum f_n$ converge simplement et que sa somme soit continue par morceaux sur $I$, alors, dans $[0,+\infty]$,
$\displaystyle\int_I\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t)\Big)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration est hors programme.
En particulier, l’intégrabilité de $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_n$ sur $I$ équivaut à $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t<+\infty$.

Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, telle que la série $\sum f_n$ converge simplement et que sa somme soit continue par morceaux sur $I$ et telle que
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I\lvert f_n(t)\rvert\,\mathrm{d}t<+\infty,$
alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_n$ est intégrable sur $I$ et
$\displaystyle\int_I\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration est hors programme. On met en évidence le parallélisme de cet énoncé et du précédent avec ceux issus de la théorie des familles sommables.
On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique pas, mais dans lesquels l’intégration terme à terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles.