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Si les $u_n$ sont continues en $a$ et si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $A$, alors $u$ est continue en $a$. En particulier, toute limite uniforme de fonctions continues sur $A$ est continue sur $A$.

Le théorème s’applique dans le cas où l’hypothèse de convergence uniforme est satisfaite de façon locale, en particulier sur tout segment. En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur des intervalles adaptés à la situation.

Théorème de la double limite : soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$, et soit $a$ un point adhérent à $A$ ; si, pour tout $n$, $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$, alors $(\ell_n)$ admet une limite $\ell$ et $u(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell$.

La démonstration est hors programme.
Adaptation, si $A\subset\mathbb{R}$, aux cas où $a=+\infty$ et $a=-\infty$.