Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4789
Soit \(n\in\N^*\) et \(\sigma\in\R^n\). On note ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4791
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4793
On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et ...
exo7 4794
Trouver une fonction \(f : {\R^2} \to \R\) discontinue en \((0,0)\) mais telle qu ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4797
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to E\) une fonction ...
exo7 4798
Montrer que les points fixes de \(f\), continue sur \([0,1]\), à val ...
exo7 4800
Soit \(f\) une fonction polynomiale sur \(\C\). Montrer que l’image par ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4803
Soit \(A\subset E\) une partie non vide bornée et \(f : A \to F\) u ...
exo7 4804
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 4805
\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans ...
exo7 4806
Soient \(E,F\) deux evn de dimensions finies et \(\varphi : E \to F\) liné ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4808
Soit \(\mathcal{C}(\R)\) l’ensemble des suites réelles convergentes muni de la norme ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4810
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 4811
Soit \(E\) un \(\C\)-evn et ...
exo7 4812
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...
exo7 4813
Soit \(E = \R[x]\) muni de la norme : ...
exo7 4814
Soit \(E\) un espace vectoriel normé et \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) t ...
exo7 4815
On note \(E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)\) et \(D\) l’endomorphisme de ...
exo7 4816
On munit \(E_k = \R_k[X]\) de la norme \(\|P\|_k = \sum_{i=0}^k |P(i)|\). Calcule ...
exo7 4817
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) borné ...
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4823
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...
exo7 4824
Soit \(E\) un evn et \(A\) une partie de \(E\) n ...
exo7 4825
Soit \(E\) un evn de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4828
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4829
Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 4830
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4831
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4832
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\). Montrer qu’il existe une suite ...
exo7 4833
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \((K_n)\) une suite dé ...
exo7 4834
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to F\) con ...
exo7 4835
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4836
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4837
Soit \(E = {\cal C}([0,2\pi])\) muni de la norme \(\|.\|_2\). Pour ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...