Programme de mathématiques MP, MPI
d) Topologie d’un espace normé
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ouvert d’un espace normé. Stabilité de l’ensemble des ouverts par réunion quelconque, par intersection finie. | Une boule ouverte est un ouvert. Un produit (fini) d’ouverts est un ouvert. |
Voisinage d’un point. | |
Fermé d’un espace normé. Stabilité de l’ensemble des fermés par intersection quelconque, par réunion finie. | Une boule fermée, une sphère, sont fermées. Un produit (fini) de fermés est fermé. |
Point intérieur, point adhérent. Intérieur, adhérence, frontière d’une partie. Caractérisation séquentielle des points adhérents, des fermés. Partie dense. Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente. | |
Si $A$ est une partie d’un espace normé, ouvert et fermé relatifs de $A$. Voisinage relatif. | Par définition, une partie $U$ de $A$ est un ouvert relatif si $U$ est voisinage relatif de chacun de ses points. Caractérisation comme intersection avec $A$ d’un ouvert de $E$. Les fermés relatifs sont par définition les complémentaires dans $A$ des ouverts relatifs. Caractérisation séquentielle. Caractérisation comme intersection avec $A$ d’un fermé de $E$. |
exo7 6179
On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment \([0,1]\) dont on supprime l’in ...
exo7 6181
Montrer que dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte.
exo7 6194
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6797
Soit \(K\) un compact contenu dans \(U\) un ouvert de ...
exo7 6807
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\). On désigne par ...
Ouverts et fermés dans $\R$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R\).
...
Ouverts et fermés dans $\R^2$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R^2\).
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Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
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Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, x > 0 \, , \, x+y \leq 0\}\) un domaine de ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, y \geq 0 \, , \, x-y > 0\}\) un domaine de ...
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