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Si $\mathrm{E}\big(X^2\big)<+\infty$, $X$ est d’espérance finie.

La notation $X\in L^2$ signifie que $X^2$ est d’espérance finie.
On ne soulèvera aucune difficulté quant à la définition précise de $L^2$.

Inégalité de Cauchy-Schwarz : si $X$ et $Y$ sont dans $L^2$, $XY$ est dans $L^1$ et $\mathrm{E}(XY)^2\leqslant\mathrm{E}\big(X^2\big)\,\mathrm{E}\big(Y^2\big)$.

Cas d’égalité.

Pour $X\in L^2$, variance et écart type de $X$.

Notations $\mathrm{V}(X)$, $\sigma(X)$. Variables réduites.
Caractérisation des variables aléatoires de variance nulle.

Relation $\mathrm{V}(X)=\mathrm{E}\big(X^2\big)-\mathrm{E}(X)^2$.

Relation $\mathrm{V}(aX+b)=a^2\,\mathrm{V}(X)$.

Si $\sigma(X)>0$, la variable aléatoire $\dfrac{X-\mathrm{E}(X)}{\sigma(X)}$ est centrée réduite.

Variance d’une variable géométrique, d’une variable de Poisson.
Covariance de deux variables aléatoires de $L^2$.
Relation $\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}(XY)-\mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y)$. Cas de variables indépendantes.
Variance d’une somme de $n$ variables aléatoires, cas de variables décorrélées.