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Fonction génératrice de la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ : $G_X(t)=\mathrm{E}\big(t^X\big)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}P(X=k)\,t^k$.
Détermination de la loi de $X$ par $G_X$.

La série entière définissant $G_X$ est de rayon supérieur ou égal à 1 et converge normalement sur le disque fermé de centre 0 et de rayon 1. Continuité de $G_X$.

La variable aléatoire $X$ est d’espérance finie si et seulement si $G_X$ est dérivable en 1 ; dans ce cas $\mathrm{E}(X)={G_X}'(1)$.

La démonstration de la réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de $G_X$ pour le calcul de $\mathrm{E}(X)$ et $\mathrm{V}(X)$.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.

Fonction génératrice d’une somme finie de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$.