Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers et des congruences. L’approche préconisée reste élémentaire en ce qu’elle ne fait pas appel au langage des structures algébriques.
- a) Divisibilité et division euclidienne 106
- b) PGCD et algorithme d’Euclide 87
- c) Entiers premiers entre eux 110
- d) Nombres premiers 72
- e) Congruences 139
exo7 7314
\(20606\) appartient-il à \(14443 + 3079 \Z\) ?
exo7 7320
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(d\) un diviseur de ...
exo7 7325
L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?
exo7 7334
Le nombre \(101\) est-il premier ? Peut-il s’écrire comme somme de deux carrés.
exo7 7335
Quelle identité obtient-on quand on écrit que la norme de \((a+ib)(c+id)\) dans ...
exo7 7344
Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...
exo7 7348
Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{19}\) avec l’éléme ...
exo7 7361
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7370
L’entier \(-1601\) est-il un représentant de la classe \([-7387]_{ 2893}\) de ...
exo7 7377
Factoriser \(221\) en produit de nombres premiers.
exo7 7382
Factoriser \(221\) en produit de nombres premiers.
exo7 7388
Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d’ordre \(4\).
exo7 7389
Donner la définition d’un idéal dans un anneau commutatif.
exo7 7390
On admet \(281\) est un nombre premier.
exo7 7392
L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?
exo7 7397
La classe \([51]\) est-elle inversible dans l’anneau \(\Z/131\Z\). Si oui, calcul ...
exo7 7401
Enoncer le théorème de la division euclidienne dans \(k[X]\).
exo7 7407
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7409
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 7836
Résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(a^2+b^2=c^2\).