Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
e) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace $F$ de dimension finie. Projection orthogonale sur $F$. Expression du projeté orthogonal d’un vecteur $x$ dans une base orthonormée de $F$. | En dimension finie : dimension de $F^\perp$, vecteur normal à un hyperplan. |
Distance d’un vecteur à $F$. | Notation $d(x, F)$. |
Le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ est l’unique élément de $F$ qui réalise la distance de $x$ à $F$. | En dimension finie, projeté orthogonal d’un vecteur sur l’hyperplan $\operatorname{Vect}(u)^\perp$ ; distance de $x$ à $\operatorname{Vect}(u)^\perp$. |
exo7 5780
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.
Pour \(n\in\Nn^*\) et ...
exo7 5792
On munit \(E =\mathcal{M}_3(\Rr)\) muni du produit scalaire usuel.
exo7 5803
Soit \(P\) le plan de \(\Rr^4\) d’équations ...
exo7 6415
On considère l’application \(\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).\) Montrer que ...
exo7 6884
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M_0(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7081
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7093
Soit \(ABCD\) un rectangle et \(M\) un point du plan.
On note ...
exo7 7113
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le projeté orthogonal de ...
exo7 7270
Le théorème de Bolyai affirme que deux polygones de même aire peuvent toujours être obtenus l’un à partir de l’autre par découpage et reco ...
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7448
Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine euclidien de dimension \(3\). Pour tout cou ...
exo7 7497
On reprend les notations de l’exercice précédent. Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit ...
exo7 7509
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension trois et ...
exo7 7515
Démontrer que si \(f\) est une application linéaire orthogonale d’un espace vectoriel euclidien ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...