Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Intégration
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Cette section a pour principal objectif de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment et d’en établir les propriétés principales. Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues n’est pas un attendu du programme.
Le corps $\mathbb{K}$ est pris égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Le professeur peut soit se placer d’emblée dans le cadre des fonctions à valeurs complexes, soit traiter en premier lieu le cas réel avant de procéder à une brève extension.
- a) Continuité uniforme 6
- b) Fonctions continues par morceaux 10
- c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment 366
- d) Sommes de Riemann 18
- e) Lien entre intégrale et primitive 43
- f) Formules de Taylor globales 14
exo7 816
Soit \(I_{n} = \int_{0}^{1}{ (1-t^2)^n dt}\).
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
exo7 821
Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]
exo7 825
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
exo7 830
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 835
Calculer \(\int_{0}^{1}{\ln (1 + x^2)}\).
exo7 836
Déterminer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} (\sum\limits_{k = 0}^n \frac{ n}{n^2 + k^2})\).
exo7 838
Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 843
Calculer : \[\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=0}^{n^{2}}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}.\]
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Limite d'une somme de Riemann
En utilisant les sommes de Riemann, déterminer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^2 + n^2}\).
Limite d'une suite et intégrale de Riemann
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose: ...
Limite d’une somme de Riemann
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}\).