Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
d) Sommes de Riemann
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Pour $f$ continue par morceaux sur le segment $[a, b]$, $\displaystyle \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\Big(a + k\frac{b - a}{n}\Big) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.$ | Interprétation géométrique. Démonstration exigible pour $f$ lipschitzienne. |
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 2082
Soient les fonctions définies sur \(\R\), ...
exo7 3957
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Chercher ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4234
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue. Pour \(n \in \N^*\), on pose ...
exo7 4245
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4324
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4400
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.
Chercher ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 5465
Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...
exo7 5923
Montrer que, si \(f~:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : ...
exo7 737
Soit \(f\in C^{1}([0;1],{\Rr}),\)telle que \(f(0)=0.\) Calculer : ...
exo7 836
Déterminer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} (\sum\limits_{k = 0}^n \frac{ n}{n^2 + k^2})\).
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 843
Calculer : \[\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=0}^{n^{2}}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}.\]
Limite d'une somme de Riemann
En utilisant les sommes de Riemann, déterminer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^2 + n^2}\).
Limite d'une suite et intégrale de Riemann
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose: ...
Limite d’une somme de Riemann
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}\).