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La famille $(u_i)_{i\in I}$ de $\mathbb{C}^I$ est dite sommable si $\displaystyle\sum_{i\in I} \lvert u_i\rvert < +\infty$.

Notation $\ell^1(I)$.
Pour $I = \mathbb{N}$, lien avec les séries.
Sommabilité d’une sous-famille d’une famille sommable.

Somme d’une famille sommable de nombres complexes.

Si $(a_i)_{i\in I}$ est sommable et si $\varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}$, il existe une partie finie $F$ de $I$ telle que $\left\lvert \displaystyle\sum_{i\in I} a_i - \sum_{i\in F} a_i \right\rvert \leqslant \varepsilon$.
Invariance de la somme par permutation.

Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de nombres complexes et soit $(v_i)$ une famille sommable de réels positifs vérifiant, pour tout $i \in I$, $\lvert u_i\rvert \leqslant v_i$. Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable.
Linéarité de la somme.

Théorème de sommation par paquets : si $I$ est réunion disjointe des $I_j$ pour $j \in J$, si $(u_i)_{i\in I}$ est sommable, alors $\displaystyle\sum_{j\in J}\Big(\sum_{i\in I_j} u_i\Big) = \sum_{i\in I} u_i$.
Cas où $I$ est un produit : théorème de Fubini.

La démonstration est hors programme.

Si $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_{i'})_{i'\in I'}$ sont sommables alors $(a_i b_{i'})_{(i,i')\in I\times I'}$ est sommable et
$\displaystyle\sum_{(i,i')\in I\times I'} a_i b_{i'} = \sum_{i\in I} a_i \times \sum_{i'\in I'} b_{i'}.$

Extension, sans rédaction de la démonstration, au produit d’un nombre fini de familles sommables.

Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

On retrouve le fait que l’exponentielle complexe est un morphisme de $(\mathbb{C}, +)$ dans $(\mathbb{C}^*, \times)$.