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Dérivée en un point selon un vecteur.

Notation $D_v f(a)$.

Dérivées partielles d’ordre 1 en un point d’une fonction définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.

Notation $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)$. On peut aussi utiliser $\partial_i f(a)$.

Une fonction est dite de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\Omega$ si ses dérivées partielles d’ordre 1 existent et sont continues sur $\Omega$.
Opérations sur les fonctions de classe $\mathscr{C}^1$.

Une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\Omega$ admet en tout point $a$ de $\Omega$ un développement limité d’ordre 1.

La démonstration n’est pas exigible.
Une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\Omega$ est continue sur $\Omega$.

Différentielle de $f$ en $a$.

Elle est définie comme la forme linéaire sur $\mathbb{R}^p$ :
$\displaystyle\mathrm{d}f(a):(h_1,\dots,h_p)\mapsto\sum_{i=1}^{p}\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i.$
Notation $\mathrm{d}f(a)\cdot h$.