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Intégrale absolument convergente.

La convergence absolue implique la convergence.
Inégalité triangulaire.

L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme.

Une fonction est dite intégrable sur un intervalle $I$ si elle est continue par morceaux sur $I$ et son intégrale sur $I$ est absolument convergente.

Notations $\int_I f$, $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$.
Pour $I=[a,b[$, (respectivement $]a,b]$), fonction intégrable en $b$ (resp. en $a$).

Espace vectoriel $L^1(I,\mathbb{K})$ des fonctions intégrables sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$.
Si $f$ est continue, intégrable et positive sur $I$, et si $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t=0$, alors $f$ est identiquement nulle.

Théorème de comparaison :
pour $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $[a,+\infty[$ :
– si $f(t)\underset{t\to+\infty}{=}O\bigl(g(t)\bigr)$, alors l’intégrabilité de $g$ en $+\infty$ implique celle de $f$.
– si $f(t)\underset{t\to+\infty}{\sim}g(t)$, alors l’intégrabilité de $f$ en $+\infty$ est équivalente à celle de $g$.

Adaptation au cas d’un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si $f(t)\underset{t\to+\infty}{=}o(g(t))$.

Fonctions de référence :
pour $\alpha\in\mathbb{R}$,
– intégrales de Riemann : étude de l’intégrabilité de $t\mapsto\dfrac{1}{t^{\alpha}}$ en $+\infty$, en $0^+$ ;
– étude de l’intégrabilité de $t\mapsto\mathrm{e}^{-\alpha t}$ en $+\infty$.

L’intégrabilité de $t\mapsto\ln t$ en 0 peut être directement utilisée.
Les résultats relatifs à l’intégrabilité de $x\mapsto\dfrac{1}{\lvert x-a\rvert^{\alpha}}$ en $a$ peuvent être directement utilisés.
Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction $x\mapsto f(x)$ est intégrable en $a^+$ (resp. en $b^-$) si $t\mapsto f(a+t)$ (resp. $t\mapsto f(b-t)$) l’est en $0^+$.