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Continuité de la limite d’une suite de fonctions :
si une suite $(f_n)$ de fonctions continues sur $I$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Intégration sur un segment de la limite d’une suite de fonctions :
si une suite $(f_n)$ de fonctions continues converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ alors :
$\displaystyle\int_a^b f_n(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.$

Dérivabilité de la limite d’une suite de fonctions :
si une suite $(f_n)$ de fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ sur un intervalle $I$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$, et si la suite $(f_n')$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction $g$, alors $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $I$ et $f'=g$.

En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension aux suites de fonctions de classe $\mathscr{C}^k$, sous l’hypothèse de convergence uniforme de $(f_n^{(k)})$ et de convergence simple de $(f_n^{(j)})$ pour $0\leqslant j<k$.