Texte officiel du programme
Cette section a pour objectif d’établir les principales propriétés de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment de manière à achever la justification des propriétés présentées dans la section « Techniques fondamentales de calcul en analyse ». Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La construction de l’intégrale n’est pas un attendu du programme, mais les étudiants doivent avoir été sensibilisés à cette problématique.
- a) Fonctions en escalier 1
- b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment 365
- c) Sommes de Riemann 18
- d) Lien entre intégrale et primitive 43
- e) Inégalité de Taylor-Lagrange 3
- f) Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes 17
exo7 838
Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 843
Calculer : \[\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=0}^{n^{2}}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}.\]
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Limite d'une somme de Riemann
En utilisant les sommes de Riemann, déterminer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^2 + n^2}\).
Limite d'une suite et intégrale de Riemann
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose: ...
Limite d’une somme de Riemann
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}\).