Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 3456
Soient \(a_1, \dots ,a_n \in K\). Le déterminant de Vandermonde associé aux ...
exo7 3457
On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\), \(\alpha = e^{i\pi/n}\) et ...
exo7 3458
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R\). Mettre le déterminant : ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3461
Chercher les rangs des matrices suivantes :
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3477
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,r}(K)\). Chercher ...
exo7 3478
Soit \(A \in \mathcal{M}_{2}(K)\). Chercher le rang de l’application ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3501
Soit ...
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3503
Diagonaliser ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3506
Soit ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3510
Soit \(E = K_n[X]\) et ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...