Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Expression de la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}$ des fonctions rationnelles à pôles simples. | La démonstration est hors programme. Dans le cas où le dénominateur possède une racine multiple ou un facteur irréductible de degré 2, la forme cherchée doit être fournie. Application au calcul de primitives, de dérivées $k$-ièmes. |
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5471
Condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), ...
exo7 6151
Soit \(P\in{\Cc}[X]\) un polynôme de racines \(z_1,\ldots ,z_n\) distinctes ou no ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 6966
Soit \(n\in\Nn^*\) et \(P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)\) (où les ...
exo7 6967
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), par identification des coefficients.
exo7 6968
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), en raisonnant par substitution pour obtenir le ...
exo7 6970
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Cc\). ...
exo7 6971
On pose \(Q_0=(X-1)(X-2)^2\), \(Q_1=X(X-2)^2\) et ...
exo7 824
Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
exo7 825
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
exo7 826
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 827
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : ...
exo7 994
Soit \(E\) l’ensemble des fractions rationnelles \(F\) qui peuvent s’écrire ...
Factorisation de polynôme et décomposition en éléments simples
On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Polynômes — division euclidienne, factorisation et éléments simples
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^n + 3X - 2\). On ...
Primitives de fonctions rationnelles
L’objectif de cet exercice est de trouver l’expression explicite des primitives de \(x \to \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\) ...
Série télescopique
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).
Série télescopique
Soit un entier \(k \geq 1\).