Programme de mathématiques PSI
a) Produit scalaire et norme associée
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Produit scalaire. Espace préhilbertien réel, espace euclidien. | Notations $\langle x, y\rangle$, $(x \mid y)$, $x \cdot y$. |
Exemples de référence : produit scalaire euclidien canonique sur $\mathbb{R}^n$, produit scalaire canonique sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, produit scalaire défini par une intégrale sur $\mathscr{C}^0([a,b],\mathbb{R})$. Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d’égalité. | Expression $X^\top Y$. Expression $\operatorname{tr}(A^\top B)$. |
Norme associée au produit scalaire. | Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire. Les étudiants doivent savoir manipuler les identités remarquables sur les normes (développement de $\lVert u \pm v\rVert^2$, identité de polarisation). |
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...