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Fonction génératrice de la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ :
$\displaystyle G_X(t) = \mathrm{E}\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X = n)\,t^n.$

La série entière définissant $G_X$ est de rayon $\geqslant 1$ et converge normalement sur $[-1,1]$. Continuité de $G_X$.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.

La loi d’une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ est caractérisée par sa fonction génératrice $G_X$.

La variable aléatoire $X$ est d’espérance finie si et seulement si $G_X$ est dérivable en 1 ; dans ce cas $\mathrm{E}(X) = {G_X}'(1)$.

La démonstration de la réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de $G_X$ pour calculer $\mathrm{E}(X)$ et $\mathrm{V}(X)$.

Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$.

Extension au cas d’une somme finie de variables aléatoires indépendantes.