Programme de mathématiques PSI
e) Suites et séries de fonctions intégrables
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Texte officiel du programme
Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de convergence simple et de domination (resp. convergence de la série des intégrales), sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de convergence dominée : si une suite $(f_n)$ de fonctions continues par morceaux sur $I$ converge simplement vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$ et s’il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$ vérifiant $\lvert f_n\rvert \leqslant \varphi$ pour tout $n$, alors les fonctions $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$ et : $\displaystyle \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_I f(t)\,\mathrm{d}t.$ | La démonstration est hors programme. |
Théorème d’intégration terme à terme : si une série $\sum f_n$ de fonctions intégrables sur $I$ converge simplement, si sa somme est continue par morceaux sur $I$, et si la série $\sum \int_I \lvert f_n(t)\rvert\,\mathrm{d}t$ converge, alors $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est intégrable sur $I$ et : $\displaystyle \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t.$ | La démonstration est hors programme. On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique pas, mais dans lesquels l’intégration terme à terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles. |
Aucun exercice rattaché
Aucun exercice de la base n’est encore rattaché à cette partie du programme.