Parcourir les exercices

Longueur d’une courbe paramétrée régulière.

Définition par la formule intégrale.

Abscisse curviligne, paramétrage par une abscisse curviligne pour une courbe régulière.
Repère de Frenet $(M, \overrightarrow{T}, \overrightarrow{N})$, normale.

Courbure en un point régulier, formules de Frenet.

La courbure est définie par $\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s} = \gamma \overrightarrow{N}$.
Interprétation géométrique du signe de la courbure.
La formule donnant la courbure à partir du déterminant de la vitesse et de l’accélération est hors programme.

Expression $\overrightarrow{T}(t) = \cos(\alpha(t))\vec{\imath} + \sin(\alpha(t))\vec{\jmath}$.

Les problèmes liés à la régularité de $\alpha$ ne sont pas un attendu du programme.

Expression de la courbure $\gamma = \dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}$.

On interprète géométriquement la valeur de $\lvert\gamma\rvert$ sans démonstration formelle.

Point birégulier d’une courbe de classe $\mathscr{C}^2$.

Rayon de courbure en un point birégulier. Centre de courbure. Cercle de courbure.

On interprète géométriquement le rayon et le cercle de courbure sans démonstration formelle.

Développée d’une courbe birégulière : ensemble des centres de courbure.