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Soit $S : I \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On suppose qu’il existe des fonctions $f_n : I \to \mathbb{R}$ intégrables telles que : $\displaystyle \forall t \in I,\ S(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$. Si la série $\sum \int_I \lvert f_n(t)\rvert\,\mathrm{d}t$ est convergente, alors $S$ est intégrable sur $I$ et :
$\displaystyle \int_I S(t)\,\mathrm{d}t = \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration est hors programme.