Programme de mathématiques PT
e) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien, alors $F$ et $F^\perp$ sont supplémentaires. | En dimension finie : dimension de $F^\perp$, vecteur normal à un hyperplan. |
Projection orthogonale sur $F$. Expression du projeté orthogonal d’un vecteur $x$ dans une base orthonormée de $F$. | Les étudiants doivent savoir déterminer le projeté orthogonal $p_F(x)$ en calculant son expression dans une base orthonormée de $F$ ou en résolvant un système linéaire traduisant l’orthogonalité de $x - p_F(x)$ aux vecteurs d’une famille génératrice de $F$. |
Distance d’un vecteur à $F$. | Notation $d(x,F)$. |
Le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ est l’unique élément de $F$ qui réalise la distance de $x$ à $F$. | Application à la recherche du minimum. |
exo7 1478
Dans \(\R^{3}\) muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d’équatio ...
exo7 1480
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace ...
exo7 1481
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 1485
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{4}\) de la projection orthogonale sur ...
exo7 1487
Soit \(\left(E,\;|\;\right)\) un espace vectoriel de dimension \(n\).
exo7 1489
Soit \(\alpha=\inf\left\{\int_{-1}^{1}\left(ax^2+bx+c-|{x}|\;\right)^2dx:a,b,c\in\Rr\right\}\).
exo7 1501
On munit le \(\Rr\)-espace vectoriel \(\Rr_2[X]\) du produit scalaire défini par ...
exo7 1507
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien, \(x_{0}\) un point de ...
exo7 2006
Soit \(O, A, B\) un triangle rectangle en \(O\). A toute droite ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 3665
On munit \(E = \R_n[X]\) du produit scalaire : Pour \(P = \sum_i a_iX^i\) et ...
exo7 3670
Soient \(F\), \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3690
Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1],\R)\) et ...
exo7 4937
Soient \(D,D'\) deux droites non coplanaires et \({\cal S}\) l’ensemble des p ...
exo7 4960
Trouver les coordonnées des projetés du point \(C(3,4,-2)\) sur les droites définies par les équations :
...
exo7 4968
Dans un rond on donne le plan \(P : x + 2y + 3z = 4\). Déterminer l’expression analytique de la projectio ...
exo7 4969
Dans un rond on donne les points \(A:(1, 0, -1)\), \(B:(-1, 1, 1)\), ...
exo7 4981
Soient \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) trois droites d ...
exo7 5520
Soient \((D)\) la droite dont un système d’équations cartésiennes est ...
exo7 5780
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.
Pour \(n\in\Nn^*\) et ...
exo7 5792
On munit \(E =\mathcal{M}_3(\Rr)\) muni du produit scalaire usuel.
exo7 7113
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le projeté orthogonal de ...
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7448
Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine euclidien de dimension \(3\). Pour tout cou ...