Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue sur un segment à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]}f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert\displaystyle\int_{[a,b]}f\right\rvert\leqslant\displaystyle\int_{[a,b]}\lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b\leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]}f=0$, alors $f=0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment. |
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 816
Soit \(I_{n} = \int_{0}^{1}{ (1-t^2)^n dt}\).
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
exo7 821
Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]
exo7 825
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
exo7 835
Calculer \(\int_{0}^{1}{\ln (1 + x^2)}\).
exo7 838
Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Limite d'une somme de Riemann
En utilisant les sommes de Riemann, déterminer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^2 + n^2}\).
Limite d'une suite et intégrale de Riemann
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose: ...