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Étant donné $a$ fini ou infini appartenant à $I$ ou extrémité de $I$, limite finie ou infinie d’une fonction en $a$.

Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges.

Unicité de la limite.
Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$, alors $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Si $f$ possède une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.

Notations $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)$.

Limite à droite, limite à gauche.

Notations $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x>a}}f(x)$ ou $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$.

Image d’une suite de limite $a$ par une fonction admettant une limite en $a$.
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient, composition.
Passage à la limite d’une inégalité large.
Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$), par majoration (limite $-\infty$).

Théorème de la limite monotone.

La démonstration n’est pas exigible.