\[S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n = \sum_{k=0}^{n}z^k.\] Nous devons retrouver le résultat sur la somme \(S_n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)d’une suite géométrique dans le cas où \(z\not=1\) est un réel. Soit maintenant \(z \not= 1\) un nombre complexe. Calculons \(S_n(1-z)\). \[\begin{align*} S_n(1-z) & =(1+z+z^2+\cdots+z^n)(1-z) \text{ développons }\\ &= 1+z+z^2+\cdots+z^n - z-z^2-\cdots-z^{n+1} \text{ les termes intermédiaires s'annulent }\\ &= 1-z^{n+1}. \end{align*}\] Donc \[S_n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}, \text{ pour } z\not= 1.\]

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