Soit \(n\in\Nn^*\). En développant \((1+\sqrt{2})^n\) par la formule du binôme de Newton et en séparant les termes où \(\sqrt{2}\) apparaît à un exposant pair des termes où \(\sqrt{2}\) apparaît à un exposant impair, on écrit \((1+\sqrt{2})^n\) sous la forme \(a_n+b_n\sqrt{2}\) où \(a_n\) et \(b_n\) sont des entiers naturels non nuls.

Mais alors \((1-\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}\) et donc

\[(-1)^n=(1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n=(a_n+b_n\sqrt{2})(a_n-b_n\sqrt{2})=a_n^2-2b_n^2\] ou finalement,

\[((-1)^na_n)a_n+(2(-1)^{n+1}b_n)b_n=1\]

où \((-1)^na_n=u\) et \(2(-1)^{n+1}b_n=v\) sont des entiers relatifs. Le théorème de Bezout permet d’affirmer que \(a_n\) et \(b_n\) sont premiers entre eux.

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