On pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{\sqrt n}\).
1
Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\R\), \(2\pi\)-périodique et continue sur \(\R\setminus2\pi\Z\).
2
Calculer \(\lim_{a\to0^+} \int_{t=a}^{\pi-a}f(t)\sin(pt)\,d t\) et en déduire que \(f\) n’a pas de développement en série de Fourier (et donc n’est pas continue en \(0\)).