Soit \(X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)\) un vecteur tel que \(AX=0\). Nous allons montrer qu’alors \(X\) est le vecteur nul ce qui entraîne que \(A\) est inversible.

Par l’absurde supposons \(X\neq0\). Alors, si \(i_0\) est un indice tel que \(|x_{i_0}|=\max\big\{|x_i| \mid i=1,\ldots,n\big\}\), on a \(|x_{i_0}|>0\).

Mais alors comme \(AX=0\) on a pour tout \(i=1,\ldots,n\) : \[\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j=0\] donc \[|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|=\left|-\sum_{j\neq i_0}^{}a_{i_0,j}x_j\right|\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|.|x_j| \leq|x_{i_0}|\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|\] et, puisque \(|x_{i_0}|> 0\), on obtient \(|a_{i_0,i_0}|\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|\) contredisant les hypothèses de l’énoncé. Ainsi \(X=0\). On a donc prouvé <<\(AX=0 \Rightarrow X=0\)>> ce qui équivaut à \(A\) inversible.

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