Posons \(I_0=\left[0, \frac{\pi}{2}\right[\) puis pour \(n\in\Nn^*\), \(I_n=\left]- \frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi\right[\) et enfin \(D =\displaystyle\bigcup_{n\in\Nn}I_n\).

Pour \(x\in D\), posons \(f(x) =\tan x -x\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(D\) et pour \(x\in D\), \(f'(x) =\tan^2x\). La fonction \(f\) est ainsi strictement croissante sur chaque \(I_n\) et s’annule donc au plus une fois dans chaque \(I_n\).

\(f(0) = 0\) et donc \(f\) s’annule exactement une fois dans \(I_0\) en \(x_0=0\).

Pour \(n\in\Nn^*\), \(f\) est continue sur \(I_n\) et de plus \(f\left(\left(- \frac{\pi}{2}+n\pi\right)^+\right)\times f\left(\left( \frac{\pi}{2}+n\pi\right)^-\right)=-\infty\times+\infty<0\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) s’annule au moins une fois dans \(I_n\) et donc exactement une fois dans \(I_n\).

L’équation \(\tan x = x\) admet donc dans chaque intervalle \(I_n\), \(n\in\Nn\), une et une seule solution notée \(x_n\). De plus, \(\forall n\geqslant1\), \(f(n\pi) =-n\pi < 0\) et donc \(x_n\in]n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi[\).

Pour \(n\geqslant1\), \(n\pi< x_n < \frac{\pi}{2}+n\pi\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=+\infty\) puis \(x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\pi\) et même

\(x_n\underset{n\rightarrow+\infty}=n\pi+ O(1)\).

Ensuite, puisque \(x_n-n\pi\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right[\) et que \(x_n=\tan(x_n)=\tan(x_n-n\pi)\), \(x_n-n\pi=\Arctan(x_n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow} \frac{\pi}{2}\). Donc

\(x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} n\pi+ \frac{\pi}{2}+o(1)\).

Posons \(y_n = x_n-n\pi- \frac{\pi}{2}\). Alors d’après ce qui précède, \(y_n\in\left]- \frac{\pi}{2},0\right[\) et \(y_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} o(1)\). De plus, l’égalité \(\tan(x_n)=x_n\) fournit \(\tan(n\pi+ \frac{\pi}{2}+y_n) =n\pi+ \frac{\pi}{2}+y_n\) ou encore

\(n\pi+ \frac{\pi}{2}+y_n = -\mathrm{cotan}(y_n)\).

Puisque \(y_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(1)\), on obtient \(n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}- \frac{1}{y_n}\) ou encore \(y_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} - \frac{1}{n\pi}+o\left( \frac{1}{n}\right)\). Donc

\(x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+o\left( \frac{1}{n}\right)\).

Posons \(z_n = y_n+ \frac{1}{n\pi}= x_n-n\pi- \frac{\pi}{2}+ \frac{1}{n\pi}\). D’après ce qui précède, \(\tan\left(- \frac{1}{n\pi}+z_n\right)=- \frac{1}{n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+z_n}\) et aussi \(z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left( \frac{1}{n}\right)\). On en déduit que

\(z_n= \frac{1}{n\pi}-\Arctan\left( \frac{1}{n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+z_n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=} \frac{1}{n\pi}-\Arctan\left( \frac{1}{n\pi}- \frac{1}{2\pi n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=} \frac{1}{2\pi n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)\).

Finalement

\(x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+ \frac{1}{2\pi n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)\).

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