\(\begin{array}{ccc} \ch(a+b)=\ch a\ch b+\sh a\sh b&\mbox{et}&\ch(a-b)=\ch a\ch b-\sh a\sh b,\\ \sh(a+b)=\sh a\ch b+\ch a\sh b&\mbox{et}&\sh(a-b)=\sh a\ch b-\sh b\ch a\\ \tanh(a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}&\mbox{et}&\tanh(a-b)=\frac{\tanh a-\tanh b}{1-\tanh a\tanh b}. \end{array}\)

Deux démonstrations :

\[\ch a\ch b+\sh a\sh b=\frac{1}{4}((e^a+e^{-a})(e^b+e^{-b})+(e^a-e^{-a})(e^b-e^{-b})) = \frac{1}{2}(e^{a+b}+e^{-a-b})=\ch(a+b).\]

\[\tanh(a+b)=\frac{\sh(a+b)}{\ch(a+b)}=\frac{\sh a\ch b+\sh b\ch a}{\ch a\ch b+\sh a\sh b}=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}\] après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul \(\ch a\ch b\). En appliquant à \(a=b=x\), on obtient :

\(\forall x\in\Rr,\;\ch(2x)=\ch^2x+sh^2x=2ch^2x-1=2sh^2x+1,\;\sh(2x)=2\sh x\ch x\;\mbox{et}\; \tanh(2x)=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}.\)

En additionnant entre elles les formules d’addition, on obtient les formules de linéarisation :

\[\ch a\ch b=\frac{1}{2}(\ch(a+b)+\ch(a-b)),\;\sh a\sh b=\frac{1}{2}(\ch(a+b)-\ch(a-b))\;\mbox{et}\;\sh a\ch b=\frac{1}{2}(\sh(a+b)+\sh(a-b)),\] et en particulier

\[\ch^2x=\frac{\ch(2x)+1}{2}\;\mbox{et}\;\sh^2x=\frac{\ch(2x)-1}{2}.\]

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