La fonction \(f\) est continue et dérivable sur \(]0,1[\) et sur \(]1,+\infty[\). Le seul problème est en \(x=1\).

Il faut d’abord que la fonction soit continue en \(x=1\). La limite à gauche est \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \sqrt x = +1\) et à droite \(\lim_{x\rightarrow 1^+} ax^2+bx+1 = a+b+1\). Donc \(a+b+1=1\). Autrement dit \(b = -a\).

Il faut maintenant que les dérivées à droite et à gauche soient égales. Comme la fonction \(f\) restreinte à \(]0,1]\) est définie par \(x \mapsto \sqrt{x}\) alors elle est dérivable à gauche et la dérivée à gauche s’obtient en évaluant la fonction dérivée \(x \mapsto \frac{1}{2\sqrt x}\) en \(x=1\). Donc \(f'_g(1)=\frac 12\).

Pour la dérivée à droite il s’agit de calculer la limite du taux d’accroissement \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\), lorsque \(x \to 1\) avec \(x>1\). Or \[\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{ax^2+bx+1 - 1}{x-1} = \frac{ax^2-ax}{x-1} = \frac{ax(x-1)}{x-1} = ax.\] Donc \(f\) est dérivable à droite et \(f'_d(1) = a\). Afin que \(f\) soit dérivable, il faut et il suffit que les dérivées à droite et à gauche existent et soient égales, donc ici la condition est \(a=\frac 12\).

Le seul couple \((a,b)\) que rend \(f\) dérivable sur \(]0,+\infty[\) est \((a=\frac 12, b= -\frac 12)\).

exo7 699