Puisque \(\ch x+\sh x=e^x\) et \(\ch x-\sh x=e^{-x}\), les expressions \(C_n+S_n=\sum_{k=1}^ne^{kx}\) et \(C_n-S_n=\sum_{k=1}^ne^{-kx}\) sont des sommes de termes de suites géométriques, de raison respectivement \(e^x\) et \(e^{-x}\).

Si \(x=0\), on a directement \(C_n=\sum_{k=1}^n1=n\) et \(S_n=\sum_{k=1}^n0=0\).

Supposons \(x\not=0\), alors \(e^{x}\not=1\). Donc \[\begin{aligned} C_n+S_n &=& \sum_{k=1}^ne^{kx} = \frac{e^x-e^{(n+1)x}}{1-e^x}\\ &=& e^x\,\frac{1-e^{nx}}{1-e^x}\\ &=& e^x\ \frac{e^{\frac{nx}{2}}(e^{-\frac{nx}{2}}-e^{\frac{nx}{2}})}{e^{\frac x2}(e^{-\frac x2}-e^{\frac x2})}\\ &=& e^{\frac{(n+1)x}{2}}\ \frac{e^{\frac{nx}{2}}-e^{-\frac{nx}{2}}}{e^{\frac x2}-e^{-\frac x2}}\\ &=& e^{\frac{(n+1)x}{2}}\ \frac{\sh\frac{nx}{2}}{\sh\frac{x}{2}} \end{aligned}\]

De même \(C_n-S_n = \sum_{k=1}^ne^{-kx}\) ; c’est donc la même formule que ci-dessus en remplaçant \(x\) par \(-x\). Ainsi : \[C_n-S_n = e^{-\frac{(n+1)x}{2}}\ \frac{\sh\frac{nx}{2}}{\sh\frac{x}{2}}\]

En utilisant \(C_n=\frac{(C_n+S_n)+(C_n-S_n)}{2}\) et \(S_n=\frac{(C_n+S_n)-(C_n-S_n)}{2}\), on récupère donc \[C_n=\frac{e^{\frac{(n+1)x}{2}}+e^{-\frac{(n+1)x}{2}}}{2}\,\frac{\sh\frac{nx}{2}}{\sh\frac{x}{2}}=\ch\left(\tfrac{(n+1)x}{2}\right)\,\frac{\sh\frac{nx}{2}}{\sh\frac{x}{2}}\] \[S_n=\frac{e^{\frac{(n+1)x}{2}}-e^{-(n+1)\frac x2}}{2}\,\frac{\sh\frac{nx}{2}}{\sh\frac{x}{2}}=\sh\left(\tfrac{(n+1)x}{2}\right)\,\frac{\sh\frac{nx}{2}}{\sh\frac{x}{2}}\]

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