Soit \(f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x\;\mbox{si}\;x\in(\Qq\cap[0,1])\setminus\{0,\frac{1}{2}\}\\ 1-x\;\mbox{si}\;x\in(\Rr\setminus\Qq)\cap[0,1]\\ 0\;\mbox{si}\;x=\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;\frac{1}{2}\;\mbox{si}\;x=0 \end{array} \right.\). \(f\) est bien une application définie sur \([0,1]\) à valeurs dans \([0,1]\). De plus, si \(x\in(\Qq\cap[0,1])\setminus\{0,\frac{1}{2}\}\), alors \(f(f(x))=f(x)=x\).

Si \(x\in(\Rr\setminus\Qq)\cap[0,1]\), alors \(1-x\in(\Rr\setminus\Qq)\cap[0,1]\) et donc \(f(f(x))=f(1-x)=1-(1-x)=x\).

Enfin, \(f(f(0))=f(\frac{1}{2})=0\) et \(f(f(\frac{1}{2}))=f(0)=\frac{1}{2}\).

Finalement, \(f\circ f=Id_{[0,1]}\) et \(f\), étant une involution de \([0,1]\), est une permutation de \([0,1]\).

Soit \(a\) un réel de \([0,1]\). On note que \(\lim_{x\rightarrow a,\;x\in(\Rr\setminus\Qq)}f(x)=1-a\) et \(\lim_{x\rightarrow a,\;x\in\Qq}f(x)=a\). Donc, si \(f\) a une limite en \(a\), nécessairement \(1-a=a\) et donc \(a=\frac{1}{2}\). Mais, si \(a=\frac{1}{2}\), \(\lim_{x\rightarrow a,\;x\in\Qq,\;x\neq a}f(x)=a=\frac{1}{2}\neq0=f(\frac{1}{2})\) et donc \(f\) est discontinue en tout point de \([0,1]\).

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