Soit \((\Omega, \Sigma, \mu)\) un espace mesuré et \(f\in\mathcal{M}^+(\Omega, \Sigma)\). Pour tout \(E\in\Sigma\), on pose : \[\lambda(E) = \int_{E} f\,d\mu = \int_{\Omega} \mathbf{1}_{A}\cdot f \,d\mu.\] Montrons que \(\lambda\) définit une mesure sur \((\Omega, \Sigma)\).
\(1^{\text{ère}}\) méthode : On montre d’abord que l’affirmation est vraie pour les fonctions simples. D’après l’exercice [ex:barb20], toute fonction \(f\in\mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)\) s’écrit \(f = \sup_{n\in\mathbb{N}} \varphi_{n}\), où les \(\varphi_{n}\) sont des fonctions simples. Puisque le supremum d’une famille quelconque de mesure est une mesure, on conclut que \(\lambda\) est une mesure.
\(2^{\text{de}}\) méthode : On a clairement \(\lambda(\emptyset) = 0\). Il suffit donc de vérifier la \(\sigma\)-additivité de \(\lambda\). Soit \(\{E_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\Sigma\) une suite d’éléments deux à deux disjoints. On a \[\begin{aligned} \lambda\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\right) & = & \int_{\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}} f\,d\mu = \int_{\Omega} \mathbf{1}_{\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}} f\,d\mu\\ & = &\int_{\Omega} \left(\sum_{i=1}^{\infty}\mathbf{1}_{E_{i}} \right) f\,d\mu = \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{\infty} \left( \mathbf{1}_{E_{i}} f\right) \,d\mu\\ & = & \sum_{i=1}^{\infty} \int_{\Omega} \left( \mathbf{1}_{E_{i}} f\right) d\mu = \sum_{i=1}^{\infty} \int_{E_{i}} f\,d\mu \\ & = & \sum_{i=1}^{\infty} \lambda(E_{i}). \end{aligned}\]

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