\(Id\) est solution.

Réciproquement, soit \(f\) une bijection de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant \(\forall x\in[0,1],\;f(2x-f(x))=x\). Nécessairement, \(\forall x\in[0,1],\;0\leq 2x-f(x)\leq 1\) et donc \(\forall x\in[0,1],\;2x-1\leq f(x)\leq 2x\).

Soit \(f^{-1}\) la réciproque de \(f\).

\[\begin{align*}\ensuremath \forall x\in[0,1],\;f(2x-f(x))=x&\Leftrightarrow\forall x\in[0,1],\;2x-f(x)=f^{-1}(x)\\ &\Leftrightarrow\forall y\in[0,1],\;f(f(y))-2f(y)+y=0\;(\mbox{car}\;\forall x\in[0,1],\;\exists!y\;[0,1]/\;x=f(y)) \end{align*}\]

Soit \(y\in[0,1]\) et \(u_0=y\). En posant \(\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=f(u_n)\), on définit une suite de réels de \([0,1]\) (car \([0,1]\) est stable par \(f\)). La condition \(\forall y\in[0,1],\;f(f(y))-2f(y)+ y=0\) fournit \(\forall n\in\Nn, \;u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n=0\), ou encore \(\forall n\in\Nn,\;u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n\). La suite \((u_{n+1}-u_n)_{n\in\Nn}\) est constante ou encore \(u\) est arithmétique. Mais, \(u\) est également bornée et donc \(u\) est constante.

En particulier, \(u_1=u_0\) ce qui fournit \(f(y)=y\). On a montré que \(\forall y\in[0,1],\;f(y)=y\) et donc \(f=Id\).

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