On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y)\neq(0,0),\\[0.5em] 0 & \text{si } (x,y)=(0,0). \end{cases}\]
1
Montrer que \(f\) est continue en \((0,0)\).
2
Étudier l’existence des dérivées partielles \[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \qquad \text{et} \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0),\] et les calculer si elles existent.
3
Montrer que \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\). La fonction \(f\) est-elle de classe \(C^1\) en \((0,0)\) ?