Pour \(x\) réel , on a : \[\begin{align*} \cos^4x\sin^6x&=\left(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\right)^4\left(\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\right)^6\\ &=-\frac{1}{2^{10}}(e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix}) (e^{6ix}-6e^{4ix}+15e^{2ix}-20+15e^{-2ix}-6e^{-4ix}+e^{-6ix})\\ &= -\frac{1}{2^{10}}(e^{10ix}-2e^{8ix}-3e^{6ix}+8e^{4ix}+2e^{2ix}-12 +2e^{-2ix}+8e^{-4ix}-3e^{-6ix}-2e^{-8ix}+e^{-10ix})\\ &=-\frac{1}{2^9}(\cos10x-2\cos8x-3\cos6x+8\cos4x+2\cos2x-6)\\ &=-\frac{1}{512}(\cos10x-2\cos8x-3\cos6x+8\cos4x+2\cos2x-6) \end{align*}\] (Remarque. La fonction proposée était paire et l’absence de sinus était donc prévisible. Cette remarque guidait aussi les calculs intermédiaires : les coefficients de \(e^{-2ix}\), \(e^{-4ix}\),... étaient les mêmes que ceux de \(e^{2ix}\), \(e^{4ix}\),...) Par suite,

\[\begin{align*} I&=-\frac{1}{512}\left(\left[\frac{\sin10x}{10}-\frac{\sin8x}{4}-\frac{\sin6x}{2}+2\sin4x+\sin2x\right]_{\pi/6}^{\pi/3} -6\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ &=-\frac{1}{512}\left(\frac{1}{10}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{1}{2}(0-0)+2(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})-\pi\right)\\ &=-\frac{1}{512}\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}-\pi\right)=\frac{9\sqrt{3}+4\pi}{2048}. \end{align*}\] Pour \(x\) réel, on a

\[\begin{align*} \cos^4x\sin^7x&=\cos^4x\sin^6x\sin x=\cos^4x(1-\cos^2x)^3\sin x\\ &=\cos^4x\sin x-3\cos^6x\sin x+3\cos^8x\sin x-\cos^{10}x\sin x. \end{align*}\]

Par suite,

\[\begin{align*} J&=\left[-\frac{\cos^5x}{5}+\frac{3\cos^7x}{7}-\frac{\cos^9x}{3}+\frac{\cos^{11}x}{11}\right]_{\pi/6}^{\pi/3}\\ &=-\frac{1}{5}\times\frac{1-9\sqrt{3}}{32}+\frac{3}{7}\times\frac{1-27\sqrt{3}}{128}-\frac{1}{3}\times\frac{1-81\sqrt {3}}{512}+\frac{1}{11}\times\frac{1-243\sqrt{3}}{2048}\\ &=\frac{1}{2^{11}\times3\times5\times7\times11}(-14784(1-9\sqrt{3})+7920(1-27\sqrt{3})-154 0(1-81\sqrt{3})+105(1-243\sqrt{3}))\\ &=\frac{1}{{2365440}}(-{8299}+{18441}\sqrt{3}). \end{align*}\]

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