On écrit \(P=aX^3+bX^2+cX+d\). Les hypothèses s’écrivent alors : \[\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a & + & b & + & c & + & d & = & 1 \\ -a & + & b & - & c & + & d & = & 1 \\ 3a & + & 2b & + & c & & & = & 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a & + & b & + & c & + & d & = & 1 \\ & & 2b & & & + & 2d & = & 2 \\ & - & b & - & 2c & - & 3d & = & -2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a & + & b & + & c & + & d & = & 1 \\ & & b & & & + & d & = & 1 \\ & & & - & 2c & - & 2d & = & -1 \end{array}\right.\] Ce système admet une infinité de solutions : il y a donc une infinité de polynôme vérifiant les hypothèses, par exemple \(P= -\frac12 X^3+X^2+ \frac12 X\).

De même, si \(P=aX^3+bX^2+cX+d\), les hypothèses s’écrivent : \[\begin{align*} \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a3^3 & + & b3^2 & + & c3 & + & d & = & 3 \\ a2^3 & + & b2^2 & + & c2 & + & d & = & 2 \\ a & + & b & + & c & + & d & = & 1 \\ & & & & & & d & = & 0 \end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a & + & b & + & c & & & = & 1 \\ 9a & + & 3b & + & c & & & = & 1 \\ 4a & + & 2b & + & c & & & = & 1 \\ & & & & & & d & = & 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a & + & b & + & c & & & = & 1 \\ & - & 6b & - & 8c & & & = & -8 \\ & - & 2b & - & 3c & & & = & -3 \\ & & & & & & d & = & 0 \end{array}\right.\\ &\iff \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl} a & + & b & + & c & & & = & 1 \\ & - & 6b & - & 8c & & & = & -8 \\ & & & - & c & & & = & -1 \\ & & & & & & d & = & 0 \end{array}\right. \iff \begin{cases} a=0 \\ b=0 \\ c=1 \\ d=0 \end{cases} \end{align*}\] Il y a ainsi un unique polynôme qui convient, le polynôme \(P=X\).

Des polynômes