Posons : \(e_1=\begin{pmatrix}1 \cr 2 \cr -1 \cr \end{pmatrix} , e_2=\begin{pmatrix}3 \cr -1 \cr 1 \cr \end{pmatrix} , e_{3,\alpha }=\begin{pmatrix}\alpha \cr 2 \cr 2 \cr \end{pmatrix} , e_{4, \beta }=\begin{pmatrix}\beta \cr 1 \cr 0 \cr \end{pmatrix}\). Notons \(\varphi _{\alpha , \beta }\) l’application linéaire associée à \(M _{\alpha , \beta }\) et \(F=\hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 \}\). Par définition de la matrice associée à une application linéaire, \(\hbox{Im }(\varphi _{\alpha , \beta })=\hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 , e_{3, \alpha } , e_{4, \beta }\}\). En particulier, \(F\subset \hbox{Im }(\varphi _{\alpha , \beta })\). Comme \(e_1\) et \(e_2\) sont linéairement indépendants, \(\hbox{rg}(\varphi _{\alpha , \beta })\geq 2\). Ainsi \(\varphi _{\alpha , \beta }\) est surjective si et seulement si l’un des deux vecteurs \(e_{3, \alpha }\) ou \(e_{4, \beta }\) n’appartient pas à \(F\). En ce cas en effet, \(\hbox{rg}(\varphi _{\alpha , \beta })=3=\hbox{dim }{\R}^3\). Or \(e_{3, \alpha }\) et \(e_{4, \beta }\) appartiennent à \(F\) si et seulement si il existe \(\lambda , \lambda ' , \mu , \mu ' \in {\R}\) tels que : \(e_{3, \alpha }=\lambda e_1 + \mu e_2\) et \(e_{4, \beta }=\lambda 'e_1 + \mu 'e_2\). Un petit calcul montre donc que \(\varphi _{\alpha , \beta }\) n’est pas surjective si et seulement si \(\alpha =22\) et \(\beta=4\). Donc \(\varphi _{\alpha , \beta }\) est surjective si et seulement si \(\alpha \not =22\) ou \(\beta\not =4\).

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