Soit \(n\in\Nn^*\). Puisque, pour tout entier \(k\), \(|\cos k\;|\in[0,1]\), on a alors

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}|\cos k\;|&\geq\sum_{k=1}^{n}\cos^2k=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(1+\cos(2k))=\frac{n}{2}+\frac{1}{2} \Re(\sum_{k=1}^{n}e^{2ik}) =\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re(e^{2i}\frac{1-e^{2in}}{1-e^{2i}})\\ &=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re(e^{i(n-1+2)} \frac{\sin n}{\sin 1}) =\frac{n}{2}+\frac{\cos(n+1)\sin n}{2\sin 1}\geq\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1}. \end{align*}\]

Maintenant, \(\frac{1}{2\sin1}=0,594...\). Par suite, pour \(n\geq3\), \(\frac{1}{2\sin1}\leq0,75=\frac{3}{4}\leq\frac{n}{4}\), et donc

\[\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1}\geq\frac{n}{2}-\frac{n}{4}=\frac{n}{4}.\]

Enfin, si \(n=1\), \(|\cos1|=0.5...\geq0.25=\frac{1}{4}\) et si \(n=2\), \(|\cos1|+|\cos2|=0.9...\geq0.5=\frac{2}{4}\). Finalement,

\(\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}.\)

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