On a \[n=\mbox{dim }E=\mbox{dim }(\mbox{Ker }f+\mbox{Ker }g)=\mbox{dim }(\mbox{Ker }f)+\mbox{dim }(\mbox{Ker }g)-\mbox{dim }(\mbox{Ker }f\cap\mbox{Ker }g),\] mais aussi,

\[n=\mbox{dim }(\mbox{Im }f)+\mbox{dim }(\mbox{Im }g)-\mbox{dim }(\mbox{Im }f\cap\mbox{Im }g)=2n-\mbox{dim }\mbox{Ker }f- \mbox{dim }(\mbox{Ker }g)-\mbox{dim }(\mbox{Im }f\cap\mbox{Im }g).\] Par suite,

\[n+\mbox{dim }(\mbox{Ker }f\cap\mbox{Ker }g)=\mbox{dim }(\mbox{Ker }f)+\mbox{dim }\mbox{Ker }g=n-\mbox{dim }(\mbox{Im }f\cap \mbox{Im }g)\] puis \(n+\mbox{dim }(\mbox{Ker }f\cap\mbox{Ker }g)=n-\mbox{dim }(\mbox{Im }f\cap \mbox{Im }g)\Rightarrow\mbox{dim }(\mbox{Ker }f\cap\mbox{Ker }g)+\mbox{dim }(\mbox{Im }f\cap\mbox{Im }g)=0\) ou encore \(\mbox{dim }(\mbox{Ker }f\cap\mbox{Ker }g)=\mbox{dim }(\mbox{Im }f\cap\mbox{Im }g)=0\), et finalement, \(\mbox{Ker }f\cap\mbox{Ker }g=\mbox{Im }f\cap\mbox{Im }g=\{0\}\). Ceci montre que les sommes proposées sont directes.

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