Posons \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par \(f:x\mapsto \eu{x}-1-x\). \(f\) est dérivable sur \(\R\) (exponentielle et polynôme) et on \[\begin{align*} \forall~x\in \R,\, f'(x) &= \eu{x}-1 \end{align*}\] Remarquons que \(f'(x)\geq 0 \Longleftrightarrow \eu{x}\geq 1 \Longleftrightarrow x \geq 0\) par stricte croissance d’exponentielle. On obtient alors le tableau de variations de \(f\) suivant :

On en déduit ainsi que \(0\) est un minimum de \(f\), et donc \[\boxed{\forall x\in \R,\, \eu{x}-1-x\geq 0 \Longleftrightarrow \eu{x}\geq 1+x}.\]

De même, posons \(g\) la fonction définie sur \(\left] 0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\) par \(g:x\mapsto \sin(x)-\frac{2x}{\pi}\). \(g\) est dérivable sur son domaine de définition (comme somme de \(\sin\) et de fonction affine) et on a \[~\forall x\in \left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[,\, g'(x) = \cos(x)-\frac{2}{\pi}\] \(g'\) est à nouveau dérivable pour les mêmes raisons, et on a \[~\forall x\in \left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[,\, g''(x) = -\sin(x)\] \(g'\) est donc négative sur \(\left] 0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\). On en déduit le tableau de variations de \(g'\) suivant :

\(g'\) est continue sur \(\left] 0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\) et est strictement décroissante. Puisque \(g'(0)=1-\frac{2}{\pi}>0\) et \(g'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{\pi}<0\), d’après le théorème de la bijection, il existe un unique \(a\in \left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\) tel que \(g'(a)=0\). On peut alors écrire :

Ce qui nous permet de conclure que, pour tout \(x\in \left] 0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(g(x)\geq 0\), ce qui donne le résultat.

Des inégalités sympathiques