Puisque les matrices \(S_1 ={^t}AA\) et \(S_2 = A{^t}A\) sont symétriques réelles, ces deux matrices sont à valeurs propres réelles. On sait d’autre part que si \(M\) et \(N\) sont deux matrices quelconques alors les matrices \(MN\) et \(NM\) ont même polynôme caractéristique.

Notons alors \((\lambda_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) la famille des valeurs propres des matrices \(S_1\) et \(S_2\) et posons \(D =\text{Diag}(\lambda_1,...\lambda_n)\). D’après le théorème spectral, il existe deux matrices orthogonales \(P_1\) et \(P_2\) telles que \(S_1 =P_1D{^t}P_1\) et \(S_2 = P_2D{^t}P_2\). Mais alors

\(S_2=P_2({^t}P_1S_1P_1){^t}P_2= (P_2{^t}P_1)S_1{^t}(P_2{^t}P_1)\).

Comme la matrice \(P_2{^t}P_1\) est orthogonale, on a montré que les matrices \(S_1\) et \(S_2\) sont orthogonalement semblables.

\(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), les matrices \({^t}AA\) et \(A{^t}A\) sont orthogonalement semblables.

exo7 5798