La fonction est paire, donc ses coefficients \(b_n\) sont nuls et on calcule ici ses coefficients \(a_n\).

Pour \(n\geq 1\), on a : \[a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\frac{\cos(nt)}{2-\cos(t)}dt\]

On peut écrire \[\begin{align*} a_n &= \Re \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}f(t)e^{int}dt\\ &= \Re \frac{1}{\pi} \int_{\mathcal C}\frac{z^n}{2-\frac12 \left(z+z^{-1}\right)}\frac{dz}{iz}\\ &= \Re \frac{1}{i\pi} \int_{\mathcal C}\frac{2z^n}{4z-z^2-1}dz\\ &= 4\Re \sum_\alpha Res\left(\frac{z^n}{4z-z^2-1},\alpha\right) \end{align*}\] Comme \(n\geq 1\), il n’y a qu’un seul pôle dans le disque : le pôle simple \(2-\sqrt 3\). Le résidu en ce pôle vaut \(\frac{(2-\sqrt 3)^n}{2\sqrt 3}\) qui est déjà un nombre réel.
On en déduit que \[a_n = \frac{2}{\sqrt 3}(2-\sqrt 3)^n.\]

Le coefficient \(a_0\) est obtenu de la même façon, mais il faut diviser par deux, vu la définition particulière lorsque \(a=0\). On obtient donc \(a_0 = \frac{1}{\sqrt 3}\).

Finalement, on a donc : \[f(x) = {1\over\sqrt 3}\left[1+ 2\sum_{n=0}^{+\infty } (2-\sqrt 3)^n \cos nx\right].\]

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