Une solution est nécessairement dans \(\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\). Soit donc \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\).

\[\begin{align*} \Arcsin(2x)=\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2})&\Rightarrow\sin(\Arcsin(2x))=\sin(\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2}))\\ &\Leftrightarrow2x=x\sqrt{1-(x\sqrt{2})^2}+x\sqrt{2}\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;\sqrt{1-2x^2}+\sqrt{2-2x^2}=2\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;1-2x^2+2-2x^2+2\sqrt{(1-2x^2)(2-2x^2)}=4\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;2\sqrt{(1-2x^2)(2-2x^2)}=1+4x^2\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;4(4x^4-6x^2+2)=(4x^2+1)^2\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;32x^2=7\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;x=\sqrt{\frac{7}{32}}\;\mbox{ou}\;x=-\sqrt{\frac{7}{32}}\\ \end{align*}\] Réciproquement, pour chacun des ces trois nombres \(x\), la seule implication écrite est une équivalence si \(x\) est dans \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) (ce qui est le cas puisque \(\left(\pm\sqrt{\frac{7}{32}}\right)^2=\frac{14}{64}\leq\frac{16}{64}=(\frac{1}{2})^2\)) et \(\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2})\) est dans \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Mais,

\[0\leq\Arcsin\sqrt{\frac{7}{32}}+\Arcsin(\sqrt{\frac{7}{32}}\sqrt{2})=\Arcsin\sqrt{\frac{7}{32}}+\Arcsin\sqrt{\frac {7}{16}}\leq2\Arcsin\sqrt{\frac{8}{16}}=2\Arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{2}\] et donc \(\Arcsin\sqrt{\frac{7}{32}}+\Arcsin(\sqrt{\frac{7}{32}}\sqrt{2}\in[0,\frac{\pi}{2}]\). De même, par parité, \(\Arcsin(-\sqrt{\frac{7}{32}})+\Arcsin(-\sqrt{\frac{7}{32}}\sqrt{2})\in[-\frac{\pi}{2},0]\) ce qui achève la résolution.

\(\mathcal{S}=\left\{0,\frac{\sqrt{14}}{8},-\frac{\sqrt{14}}{8}\right\}.\)

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