Soit \(n\in\Nn\).

\[\begin{align*}\ensuremath u_n&=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\;dt-\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{2k}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\;dt-\int_{0}^{1}\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;dt\\ &= (-1)^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\;dt. \end{align*}\]

Par suite, pour \(N\in\Nn\),

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{N}u_n=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{N}\frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;dt =\int_{0}^{1}(-t^2)\frac{1-(-t^2)^{N+1}}{(1+t^2)^2}\;dt=-\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\;dt+(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt. \end{align*}\]

Or \(\left|(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\right|=\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{2N+2}\;dt=\frac{1}{2N+3}\). Comme \(\frac{1}{2N+3}\) tend vers \(0\) quand \(N\) tend vers \(+\infty\), il en est de même de \((-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\). On en déduit que la série de terme général \(u_n\), \(n\in\Nn\), converge et de plus

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}u_n&=-\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{t}{2}\times\frac{-2t}{(1+t^2)^2}\;dt\\ &=\left[\frac{t}{2}\times\frac{1}{1+t^2}\right]_0^1-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+t^2}\;dt=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}. \end{align*}\]

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}\).

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