On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble \[K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le 4,\ y\ge x\}.\] On note : \[B_1=\{(x,x)\in\mathbb{R}^2 \mid -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}\},\,B_2=\{(2\cos\theta,2\sin\theta)\in\mathbb{R}^2 \mid \theta\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}]\}.\]
Représenter graphiquement le domaine \(K\).
Montrer que \(f\) admet un minimum global et un maximum global sur \(K\).
Déterminer les points critiques éventuels de \(f\) dans l’intérieur de \(K\).
Étudier la restriction de \(f\) à \(B_1\). On posera \(g(x)=f(x,x).\) Déterminer les variations de \(g\) sur \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).
Étudier la restriction de \(f\) à \(B_2\). On posera \(h(\theta)=f(2\cos\theta,2\sin\theta).\) Déterminer les points critiques de \(h\) sur \([\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}]\), puis ses extremums sur cet intervalle.
En déduire le minimum global et le maximum global de \(f\) sur \(K\), ainsi que les points où ils sont atteints.